Ciąg Fibbonaciego

Historia matematyki bywa nieprzewidywalna. Wieki obserwacji i odkryć dotyczących złotej liczby zdawałoby się wyczerpały temat. A jednak nie! A wszystko za sprawą Leonardo Pisano Fibonacciego, który żył w latach ok. 1175 - 1250 n.e. Co ciekawe, nazwisk o jest tak naprawdę przydomkiem ,ponieważ Fibonacci znaczy po prosty "syn Bonacciego". Warto dodać, że Fibonacci był gorącym zwolennikiem wprowadzenia arabskiego zapisu liczbowego.

Fibonacci w 1202 roku wydał książkę Liber Abaci (Księga Abaku). Ironiczny tytuł, ponieważ w książce Fibonacci wykazuje korzyści stosowania arabskiego zapisu liczbowego nad metodami opartymi na systemie abaku i cyfrach rzymskich. W książce poruszone są tematy podzielności, teorii liczb, symbolika matematyczna, ale również zasady księgowania, reguły zysków i strat czy wymiany pieniędzy. Jednak najsłynniejszym zadaniem stało się zadanie o królikach. 

Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym następnym miesiącu, poczynając od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin?

Do najważniejszych własności liczby Fibonacciego można zaliczyć:

1. Złoty podział odcinka stworzony po raz pierwszy przez Euklidesa. Zagadnienie to zostanie szerzej omówione w dalszej części tego rozdziału.
2. Złoty podział prostokąta.
3. Spirala logarytmiczna -(w dowolnym punkcie ewolucji złotej spirali stosunek długości łuku do jego przekątnej wynosi 1,618, a przekątna pozostaje w takim stosunku do większego promienia).
4. Elipsa logarytmiczna. Elipsa jest matematycznym opisem owalu. Każdą elipsę można zdefiniować przy pomocy niewielu parametrów. Skrajną formą elipsy jest parabola opisana przy pomocy następującego równania: y2 = 4ax. Punkt P jest odległy o tyle samo od stałego punktu Z i od stałej linii wodzącej ZM. Krzywa jest symetryczna względem osi poziomej.

Złoty podział opisuje podział odcinka na dwie części w taki sposób, by stosunek długości dłuższej części do krótszej był równy stosunkowi całego odcinka do dłuższej jego części. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą, a oznaczany grecką literą φ (czyt. fi).

Spiralny kształt, w którym każdy element jest sumą dwóch poprzednich identycznych elementów, zaobserwował i wyliczył w XII wieku włoski matematyk, od którego nazwiska bierze swoją nazwę ciąg Fibonacciego. W kształtach wielu roślin widać spiralne linie rozchodzące się od środka w niezwykle usystematyzowany sposób.

Ciąg Fibonacciego definiujemy następująco:

pierwszy i drugi element ciągu jest równy 1. Każdy następny otrzymujemy dodając do siebie dwa poprzednie. Matematycznie wygląda to następująco:

$$F_n=\{\begin{array}{cc}1& ,dlan=1\\ 1& ,dlan=2\\ F_{n-2}+F_{n-1}& ,dlan>2\end{array}$$

Inna definicja przedstawia zerowy numer ciągu jako wartość 0, pierwszy jako wartość 1, a każdy następny otrzymujemy dodając dwa poprzednie:

$$F_n=\{\begin{array}{cc}0& ,dlan=0\\ 1& ,dlan=1\\ F_{n-2}+F_{n-1}& ,dlan>1\end{array}$$

Kilka kolejnych wyrazów tego ciągu według pierwszej definicji przedstawia się następująco:

$$1,1,2,3,5,8,13,21,...$$

Pierwsze rozwiązanie zostanie przedstawione metodą iteracyjną, która jest wydajna i bez problemu wyznaczymy wszystkie wyrazy ciągu, które mieszczą się w dowolnym typie w C++. 

                                         

W muzyce znany jest Kanon D-dur Pachelbela, który masz właśnie okazję słuchać. Zapis nutowy jest skonstruowany według liczb Fibonacciego i którego reminescencję można spotkać w wielu współczesnych utworach muzycznych, m.in.:

• Vitamin C-The Graduation Song
• Bob Marley and the Wailers-Woman No Cry
• The Beatles- Let It Be
• Green Day- Basket Case
• Matchbox 20- Push
• U2- With or Without You